중1 수학 - 최소공배수(最小公倍數, Least Common Multiple, LCM)

✅ 최소공배수란?

두 수 이상의 자연수들이 공통으로 가지는 배수 중에서 가장 작은 수를 말해요.

예:
6과 8의 배수는

• 6의 배수: 6, 12, 18, 24, 30, 36, ...
• 8의 배수: 8, 16, 24, 32, 40, 48, ...

→ 공통 배수: 24, 48, ...
→ 최소공배수: 24

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✅ 최소공배수 구하는 방법 3가지

1. 배수를 나열해서 찾기

가장 기초적인 방법.
단점: 숫자가 커질수록 시간이 오래 걸림.

예:

• 4의 배수: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28...
• 5의 배수: 5, 10, 15, 20, 25, 30...

→ 최소공배수 = 20

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2. 소인수분해 이용하기 (중학교에서 주로 사용)

① 두 수를 각각 소인수분해
② 소인수 중 겹치는 것은 큰 지수로, 안 겹치는 것도 모두 곱함

예:

• 12 = 2² × 3
• 18 = 2 × 3²

→ 공통: 2, 3
→ 큰 지수로 선택: 2², 3²
→ 최소공배수 = 2² × 3² = 4 × 9 = 36

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3. 최대공약수를 이용한 공식

A와 B의 최소공배수 × 최대공약수 = A × B

즉,

​

예:

• A = 15, B = 20
• 최대공약수(GCD) = 5
• 최소공배수 = (15 × 20) ÷ 5 = 300 ÷ 5 = 60

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✅ 최소공배수가 사용되는 실제 상황

• 시간 계산: 6분마다 울리는 종과 8분마다 울리는 종이 동시에 울리는 시간
• 분수 계산: 분모가 다른 분수의 덧셈/뺄셈
• 약속 시간 맞추기, 반복되는 주기 계산

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✅ 문제 1: 시간 계산

6분마다 울리는 종과 8분마다 울리는 종이 있습니다. 두 종이 동시에 울린 후, 다시 동시에 울리는 시간은 몇 분 후인가요?

✏️ 풀이

• 6과 8의 최소공배수를 구한다.
• 6 = 2 × 3
• 8 = 2³
• 소인수: 2³, 3
  → 최소공배수 = 2³ × 3 = 8 × 3 = 24분

✅ 정답: 24분 후

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✅ 문제 2: 분수 계산

✏️ 풀이

• 분모 4와 6의 최소공배수를 구한다.
• 4 = 2², 6 = 2 × 3
  → 최소공배수 = 2² × 3 = 4 × 3 = 12

✅ 정답: 공통 분모는 12

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✅ 문제 3: 약속 시간 맞추기

지훈이는 5일마다 친구를 만나고, 수연이는 6일마다 친구를 만나요. 오늘 둘이 동시에 만났다면, 다음에 다시 동시에 만나는 날은 몇 일 후일까요?

✏️ 풀이

• 5와 6의 최소공배수를 구한다.
• 5 = 5, 6 = 2 × 3
  → 최소공배수 = 2 × 3 × 5 = 30일

✅ 정답: 30일 후

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✅ 문제 4: 반복되는 주기 계산

A버스는 20분마다, B버스는 30분마다 정류장에 도착해요. 두 버스가 동시에 정류장에 도착한 뒤, 다시 함께 도착하려면 몇 분이 지나야 할까요?

✏️ 풀이

• 20 = 2² × 5
• 30 = 2 × 3 × 5
  → 최소공배수 = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60분

✅ 정답: 60분 후