중1 수학 - 소인수분해를 이용한 최대공약수 문제

소인수분해를 이용한 최대공약수 문제

[기본 문제]

1. 12와 18의 최대공약수를 소인수분해를 이용해 구하세요.
2. 24와 36의 최대공약수를 구하세요.
3. 45와 60의 최대공약수를 구하세요.
4. 56과 98의 최대공약수를 구하세요.
5. 81과 135의 최대공약수를 구하세요.

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[응용 문제]

1. 두 수 72와 108을 소인수분해하여 최대공약수를 구하세요.
2. 84와 126을 소인수분해하여 최대공약수를 구하세요.
3. 두 개의 자연수 90과 150의 최대공약수를 구하세요.
4. 두 수 144와 216을 소인수분해하여 최대공약수를 구하세요.
5. 두 수 210과 315의 최대공약수를 소인수분해로 구하세요.

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[심화 문제]

1. 어떤 두 수의 최대공약수가 24이고, 두 수의 곱이 3456일 때, 두 수를 구하세요.
2. 어떤 두 수의 최대공약수가 18이고, 두 수의 최소공배수가 180일 때, 두 수를 구하세요.
3. 소인수분해를 이용하여 세 수 48, 72, 120의 최대공약수를 구하세요.
4. 한 공장에서 288개의 사탕과 360개의 초콜릿을 같은 개수씩 포장하려고 한다. 한 상자에 들어갈 수 있는 최대 개수를 소인수분해를 이용하여 구하세요.
5. 어떤 자연수 xxx가 108과 162의 공약수이며 27의 배수일 때, 가능한 xxx의 값을 모두 구하세요.

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📌 소인수분해를 이용한 최대공약수 구하는 방법

1. 두 수를 소인수분해한다.
2. 공통된 소인수만 선택하여 곱한 값이 최대공약수이다.

 

소인수분해를 이용한 최대공약수 문제 정답

[기본 문제]

1. 12와 18의 최대공약수
   • 12 = 2 × 2 × 3
   • 18 = 2 × 3 × 3
   • 공통된 소인수: 2 × 3 = 6
   • 정답: 6
2. 24와 36의 최대공약수
   • 24 = 2 × 2 × 2 × 3
   • 36 = 2 × 2 × 3 × 3
   • 공통된 소인수: 2 × 2 × 3 = 12
   • 정답: 12
3. 45와 60의 최대공약수
   • 45 = 3 × 3 × 5
   • 60 = 2 × 2 × 3 × 5
   • 공통된 소인수: 3 × 5 = 15
   • 정답: 15
4. 56과 98의 최대공약수
   • 56 = 2 × 2 × 2 × 7
   • 98 = 2 × 7 × 7
   • 공통된 소인수: 2 × 7 = 14
   • 정답: 14
5. 81과 135의 최대공약수
   • 81 = 3 × 3 × 3 × 3
   • 135 = 3 × 3 × 3 × 5
   • 공통된 소인수: 3 × 3 × 3 = 27
   • 정답: 27

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[응용 문제]

1. 72와 108의 최대공약수
   • 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
   • 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
   • 공통된 소인수: 2 × 2 × 3 × 3 = 36
   • 정답: 36
2. 84와 126의 최대공약수
   • 84 = 2 × 2 × 3 × 7
   • 126 = 2 × 3 × 3 × 7
   • 공통된 소인수: 2 × 3 × 7 = 42
   • 정답: 42
3. 90과 150의 최대공약수
   • 90 = 2 × 3 × 3 × 5
   • 150 = 2 × 3 × 5 × 5
   • 공통된 소인수: 2 × 3 × 5 = 30
   • 정답: 30
4. 144와 216의 최대공약수
   • 144 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
   • 216 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3
   • 공통된 소인수: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72
   • 정답: 72
5. 210과 315의 최대공약수

• 210 = 2 × 3 × 5 × 7
• 315 = 3 × 3 × 5 × 7
• 공통된 소인수: 3 × 5 × 7 = 105
• 정답: 105

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[심화 문제]

1. 최대공약수가 24이고, 두 수의 곱이 3456일 때 두 수 구하기

• 두 수를 a, b라고 하면 a × b = 3456
• GCD(a, b) = 24
• a = 24x, b = 24y (서로소인 x, y 찾기)
• 24x × 24y = 3456
• xy = 6 → 서로소인 경우는 (2,3) 또는 (3,2)
• 두 수: 24 × 2 = 48, 24 × 3 = 72
• 정답: (48, 72) 또는 (72, 48)

1. 최대공약수가 18이고, 최소공배수가 180일 때 두 수 구하기

• GCD(a, b) × LCM(a, b) = a × b 
• 18 × 180 = a × b
• a × b = 3240
• a = 18x, b = 18y
• xy = 10 → 서로소인 경우는 (2,5) 또는 (5,2)
• 두 수: 18 × 2 = 36, 18 × 5 = 90
• 정답: (36, 90) 또는 (90, 36)

1. 48, 72, 120의 최대공약수

• 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
• 72 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3
• 120 = 2 × 2 × 2 × 3 × 5
• 공통된 소인수: 2 × 2 × 2 × 3 = 24
• 정답: 24

1. 288개의 사탕과 360개의 초콜릿을 같은 개수씩 포장할 때 한 상자에 들어갈 수 있는 최대 개수

• 288 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3 × 3
• 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5
• 공통된 소인수: 2 × 2 × 2 × 3 × 3 = 72
• 정답: 72개

1. 108과 162의 공약수이며 27의 배수인 xxx의 값 찾기

• 108 = 2 × 2 × 3 × 3 × 3
• 162 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3
• 공약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27, 54
• 이 중 27의 배수: 27, 54
• 정답: 27, 54