중1 수학 - 공약수

공약수란 두 개 이상의 자연수에 공통으로 들어 있는 약수를 뜻해. 

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1. 약수와 공약수 개념

• 약수: 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 자연수
  • 예시: 12의 약수 → 1, 2, 3, 4, 6, 12
  • 예시: 18의 약수 → 1, 2, 3, 6, 9, 18
• 공약수: 두 수의 약수 중에서 공통된 수
  • 12와 18의 공약수 → 1, 2, 3, 6

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2. 공약수를 구하는 방법

공약수를 구하는 방법은 크게 두 가지가 있어.

(1) 두 수의 약수를 모두 나열하여 공통된 수 찾기

• 예시: 15와 20의 공약수
  • 15의 약수: 1, 3, 5, 15
  • 20의 약수: 1, 2, 4, 5, 10, 20
  • 공약수: 1, 5

이 방법은 숫자가 작을 때는 간단하지만, 숫자가 커지면 나열하기 어려워져.

(2) 두 수를 소인수분해하여 공통된 부분 찾기

소인수분해를 하면 공약수를 더 쉽게 찾을 수 있어.

• 예시: 24와 36의 공약수
  1. 소인수분해
     • 24 = 2 × 2 × 2 × 3
     • 36 = 2 × 2 × 3 × 3
  2. 공통된 인수 찾기
     • 공통된 소인수: 2 × 2 × 3
  3. 곱하기 → 최대공약수(GCD) = 12
  4. 공약수 찾기
     • 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12 → 이게 24와 36의 공약수!

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3. 최대공약수(GCD)

공약수 중에서 가장 큰 수를 **최대공약수(Greatest Common Divisor, GCD)**라고 해.

최대공약수를 구하는 방법

1. 소인수분해 후 공통된 소수의 곱으로 구하기 (위에서 설명한 방법)
2. 나눗셈을 이용하는 방법 (유클리드 호제법)
   • 두 수 a, b (a > b)에 대해
     1. a를 b로 나눈 나머지를 r이라고 하면,
     2. b와 r의 최대공약수가 a와 b의 최대공약수와 같음
     3. 이를 반복하여 나머지가 0이 되면, 그때의 b가 최대공약수
   • 예시: 24와 36의 최대공약수
     1. 36 ÷ 24 = 1, 나머지 12
     2. 24 ÷ 12 = 2, 나머지 0
     3. 최대공약수는 12

이 방법은 숫자가 커질수록 더 빠르고 효율적이야.

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4. 공약수 활용 예제

• 최대공약수를 이용한 분수의 약분

• 최소공배수와의 관계
  • 두 수의 곱 = 최대공약수 × 최소공배수
  • 예: 12와 18
    • GCD(최대공약수) = 6
    • LCM(최소공배수) = 36
    • 12 × 18 = 6 × 36