중1 수학 - 서로소(互素, Coprime)

서로소(互素, Coprime)란?

서로소란 두 수의 공약수가 1뿐인 관계를 말해. 즉, 공통된 약수가 1밖에 없으면 그 두 수는 서로소야.

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1. 서로소의 기본 개념

• 두 수 a와 b가 있을 때, 최대공약수(GCD)가 1이면 a와 b는 서로소!
• 예시:
  • 8과 15
    • 8의 약수: 1, 2, 4, 8
    • 15의 약수: 1, 3, 5, 15
    • 공약수: 1 (→ 서로소)
  • 12와 18
    • 12의 약수: 1, 2, 3, 4, 6, 12
    • 18의 약수: 1, 2, 3, 6, 9, 18
    • 공약수: 1, 2, 3, 6 (→ 서로소 아님)

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2. 서로소의 특징

1. 서로소의 최대공약수(GCD)는 항상 1
   • 예) 9와 10 → 최대공약수(1) → 서로소
2. 연속된 두 자연수는 항상 서로소
   • 예) (5, 6), (10, 11), (99, 100) 등은 서로소
3. 소수끼리는 다르다면 서로소
   • 예) 7과 13 → 둘 다 소수, 공통된 약수가 1뿐 → 서로소
4. 어떤 수와 1은 항상 서로소
   • 예) 1과 100 → 서로소
5. 두 수의 곱이 최소공배수와 같으면 서로소
   • 즉, 최대공약수 × 최소공배수 = a × b
   • 예) 8과 15
     • 최대공약수 = 1
     • 최소공배수 = 8 × 15 = 120
     • 1 × 120 = 8 × 15 → 서로소

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3. 서로소인지 판별하는 방법

(1) 약수를 나열해서 확인하기

• 숫자가 작을 때는 약수를 모두 적고 공약수가 1뿐인지 확인하면 돼.

(2) 소인수분해를 이용하기

• 소인수분해 후 공통된 소인수가 없으면 서로소
• 예) 35와 48
  • 35 = 5 × 7
  • 48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3
  • 공통된 소인수가 없음 → 서로소

(3) 유클리드 호제법 활용

• 서로소라면 나누기를 반복했을 때 최대공약수가 1이 돼야 함.

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4. 서로소의 활용

서로소 개념은 수학에서 여러 가지 중요한 역할을 해.

(1) 기약분수와 약분

• 분수에서 분자와 분모가 서로소이면 그 분수는 더 이상 약분할 수 없는 기약분수가 돼.

(2) 서로소의 개수 (오일러 피 함수, φ(n))

• 어떤 자연수 n보다 작고 n과 서로소인 수의 개수를 찾는 함수
• 예) 10보다 작은 자연수 중 10과 서로소인 수 → 1, 3, 7, 9 (4개)

(3) 암호학 (RSA 알고리즘)

• 소수와 서로소 개념이 RSA 암호 알고리즘에서 중요한 역할을 해.
• 두 개의 큰 소수를 서로소로 사용하여 보안성을 높임.

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5. 서로소 예제 문제

문제 1

다음 중 서로소인 두 수를 고르세요.
① (12, 16)
② (9, 28)
③ (14, 21)
④ (18, 24)

풀이
① 12와 16 → 공약수(1, 2, 4) → ❌
② 9와 28 → 공약수(1) → ✅ (서로소!)
③ 14와 21 → 공약수(1, 7) → ❌
④ 18과 24 → 공약수(1, 2, 3, 6) → ❌

정답: ② (9, 28)