중학교 1학년 (수학) - 합성수(合成數, Composite Number)

합성수(合成數, Composite Number)란?

합성수는 1과 자기 자신 외에 다른 약수를 더 가지고 있는 자연수를 말해. 즉, 두 개 이상의 소수를 곱해서 만들 수 있는 수야.

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1. 합성수의 정의와 특징

• 1보다 크면서 소수가 아닌 자연수를 합성수라고 해.
• 소수는 약수가 1과 자기 자신뿐이지만, 합성수는 여러 개의 약수를 가짐.

예를 들어,

• 4의 약수: 1, 2, 4 → (소수 2가 약수로 포함됨) → 합성수
• 6의 약수: 1, 2, 3, 6 → (소수 2와 3이 약수로 포함됨) → 합성수
• 9의 약수: 1, 3, 9 → (소수 3이 약수로 포함됨) → 합성수

📌 반대로 소수는 약수가 1과 자기 자신뿐이므로, 합성수와 다르다.
예: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, … (소수)

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2. 합성수의 예시

• 가장 작은 합성수: 4 (2 × 2)
• 10까지의 합성수: 4, 6, 8, 9, 10
• 20까지의 합성수: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20

✅ 모든 짝수(2 제외)는 합성수!
✅ 모든 홀수는 소수일 수도 있고, 합성수일 수도 있어!
예:

• 홀수 9 = 3 × 3 (합성수)
• 홀수 7 = 소수

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3. 합성수의 성질

1. 1은 합성수가 아니다
   • 합성수는 최소한 두 개 이상의 소수의 곱으로 나타낼 수 있어야 하는데, 1은 소수도 합성수도 아니야.
2. 2는 합성수가 아니다 (소수다!)
   • 2는 1과 2만을 약수로 가지므로 합성수가 아니라 소수야.
3. 합성수는 항상 두 개 이상의 소수의 곱으로 나타낼 수 있다
   • 예:
     • 12 = 2 × 2 × 3
     • 18 = 2 × 3 × 3
4. 모든 합성수는 소인수분해가 가능하다
   • 어떤 합성수든 소수들의 곱으로만 나타낼 수 있어.
   • 예: 30 → 2 × 3 × 5

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4. 소수 vs 합성수 비교

개념	정의	예시
소수	1과 자기 자신만 약수로 가지는 수	2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …
합성수	자기 자신 외에 다른 약수를 더 가지고 있는 수	4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, …
1	소수도 합성수도 아님	1

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5. 합성수 판별법

어떤 수 N이 합성수인지 확인하려면:

1. 소수가 아닌지 확인한다.
2. 2 이상 작은 소수들(2, 3, 5, 7, …)로 나누어떨어지는지 확인한다.
3. 나누어떨어지면 합성수다!

예제:

• 15: 1, 3, 5, 15 → (소수 3과 5가 약수로 포함됨) → 합성수
• 17: 1, 17 → (약수가 2개뿐) → 소수
• 21: 1, 3, 7, 21 → (소수 3과 7이 약수) → 합성수

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6. 합성수와 소인수분해

모든 합성수는 소인수분해(Prime Factorization)를 할 수 있어.
즉, 소수들의 곱으로 표현할 수 있다!

예시:

• 30 = 2 × 3 × 5
• 42 = 2 × 3 × 7
• 100 = 2 × 2 × 5 × 5

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7. 합성수 활용 예시

• 소인수분해를 이용한 문제 풀이
• 최대공약수(GCD), 최소공배수(LCM) 구할 때 필수
• 암호학과 데이터 보안 (RSA 암호화에 소수와 함께 사용됨)

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8. 정리