중학교 1학년 (수학) - 소수(素數, Prime Number)

1. 소수의 정의

소수는 1과 자기 자신 외에는 나누어떨어지는 수가 없는 자연수를 말해. 즉, 약수가 1과 자기 자신뿐인 수야.

예시:

• 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 …

이 숫자들은 오직 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지기 때문에 소수야.

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2. 소수의 특징

1. 1은 소수가 아니다
   • 소수는 두 개의 약수를 가져야 하는데, 1은 약수가 하나(자기 자신)뿐이기 때문에 소수가 아니야.
2. 2는 유일한 짝수 소수
   • 짝수는 대부분 2로 나누어떨어지지만, 2는 예외적으로 소수야.
   • 2보다 큰 짝수는 항상 2로 나누어지기 때문에 소수가 될 수 없어.
3. 소수는 무한히 많다
   • 고대 그리스 수학자 유클리드가 "소수는 무한하다"는 것을 증명했어.
4. 소수는 암호 기술 등에 사용된다
   • 현대 암호학에서는 소수를 이용한 보안 기술(예: RSA 암호)이 많이 사용돼.

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3. 소수 판별법

어떤 수가 소수인지 확인하는 방법은 여러 가지가 있어.

(1) 나눗셈을 이용한 방법

어떤 수 N이 소수인지 확인하려면,
1과 자기 자신을 제외한 숫자로 나누어떨어지는지 확인하면 돼.
예를 들어 17이 소수인지 확인해 보자.

• 2, 3, 4, …, 16으로 나누어보면 나누어떨어지는 수가 없어 → 소수!

하지만 큰 수가 나오면 일일이 나누는 것이 어려워. 그래서 좀 더 효율적인 방법이 있어.

(2) 제곱근을 이용한 방법

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4. 소수 찾기 알고리즘 - 에라토스테네스의 체

고대 그리스 수학자 에라토스테네스가 개발한 방법이야.
여러 개의 수 중에서 소수를 빠르게 찾을 때 유용해.

방법:

1. 1은 소수가 아니므로 제외한다.
2. 2부터 시작하여 남아 있는 수 중에서 가장 작은 수를 찾고, 그 수의 배수를 모두 제거한다.
3. 다음으로 남아 있는 가장 작은 수를 찾아, 그 배수를 제거한다.
4. 이를 반복하면 남아 있는 수가 모두 소수다.

예를 들어 1부터 30까지 소수를 찾는다면:

처음:
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30

1. 2는 소수이므로 남기고, **2의 배수(4, 6, 8, 10, …)**를 모두 지운다.
2. 3은 소수이므로 남기고, **3의 배수(6, 9, 12, …)**를 모두 지운다.
3. 5는 소수이므로 남기고, **5의 배수(10, 15, 20, …)**를 모두 지운다.
4. 7은 소수이므로 남기고, **7의 배수(14, 21, 28, …)**를 모두 지운다.

이 과정을 반복하면 소수만 남게 돼!

결과:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29

이게 30 이하의 소수야.

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5. 소수 응용 예시